wil78 a écrit :
spm 77 a écrit :
[...]ok mais l'étude de N a été réalisée après que l'on est posé 1+1=2 ! Si on étudie les Zn alors on peut tout dire genre 2+1=1 ou 4=1 tout dépend dans quel ensemble on se trouve.
je pense qu'à l'origine 1+1=2 dans N est un axiome
Non,la definition de N est plus subtile que ça. Un axiome est quelque chose de vraiment plus fondamental.
Il y a - sauf erreur - plusieurs constructions de N possibles. Notamment une à partir de l'ensemble vide et celle de Péano.
Péano pose 5 axiomes pour constuire l'ensemble des entiers naturels :
1. l'ensemble des naturels n'est pas vide (on lit parfois "0 est un entier naturel").
2. Tout entier naturel n a un successeur, noté n + 1.
3. L'ensemble des naturels a un premier élément que l'on note 0 (on lit parfois : "0 n'est le successeur d'aucun entier naturel").
4. Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
5. Principe de récurrence (Si une propriété se vérifie pour 0 ainsi que pour le successeur de tout entier naturel, alors elle se vérifie pour tous les entiers naturels).
Puis il nous dit : il existe un ensemble, noté N, qui vérifie ces 5 axiomes.
Plus fort encore : si un autre ensemble N' vérifie les axiomes de Péano, alors il est en bijection avec N (il y a donc unicité à isomorphisme près).
Bref, pour en revenir à la queston :
1 + 1 = 2 n'est pas un axiome (de la construction de N), ce n'est qu'une "notation". On a noté 0 le premier élément (on aurait très bien pu l'appeler "toto"). Puis on a posé s(0) = 1, s(1) = 2, s(2) = 3, ... (où s(n) est le successeur de n). Et s(1) = 2 est équivalent à dire que 1 + 1 = 2 (cf. le deuxième axiome de Péano).
Pourquoi ces notations ? J'imagine que c'est parce qu'on utilisait les mêmes bien avant que Péano ne fasse tout ça et donc, c'était plus intuitif et plus cohérent de continuer sur la même voie.
Mais, sans parler de Zn (car l'addition dans Zn est quelque peu différente de l'addition usuelle), on peut très bien avoir 1 + 1 = 10 si l'on compte en base 2. Tout ceci n'est que poudre sémantique, il suffit de savoir ce que l'on fait, de quoi l'on parle.
A noter qu'il y a, actuellement, en vente chez les marchands de journaux, un numéro de
Sciences et avenir hors série,
Le Mystère des nombres. Je l'ai juste feuilleté, je n'ai pas commencé à le lire mais ça a l'air sympa.
Sinon, pour les
"moins que rien",
"trois fois rien",
"rien de neuf", ... Merci Raymond Devos
