rQL a écrit :
bah voila je dois demontrer pour demain que l'intersection d'un plan et d'une sphere donne un cercle, c'est ecrit partout sauf qu'il n'y a pas de demonstrations ...
en faite le probleme c'est que je ne sais meme pas reconnaitre l'equation d'un cercle dans l'espace, l'ecriture est-elle parametrique ou quelque chose du genre z = (x - 3)² + 5 et z = (y - 2)² + 7
merci a tous ceux qui peuvent bien m'aider
De mémoire (putain, 8 ans déjà la fin des études)
Equation canonique de la sphère (facon coniques, quoi)
Ben une sphere, c'est CM=R où
- C(Xc,Yc,Zc) est le centre de ta sphère
- M(X,Y,Z) le point de ta sphère
- R est le rayon
tu as :
CM=R <=> CM²=R² (car on parle de distances) <=> (X-Xc)²+(Y-Yc)²+(Z-Zc)² = R² :
(1)
D'où l'équation de ta sphère.
Intersection sphère/plan
Ton plan est de la forme : aX+bY+cZ+d=0 d'ou
Z= -(aX+bY+d)/c :
(2)
tu mets
(2) dans
(1) et tu essaies de réecrire le résultat sous la forme d'un cercle, mais c'est pas forcément facile calculatoirement parlant.
Le mieux, c'est de considérer que l'équation de ton plan est z=d. Pourquoi ? Parce que ton probleme est invariant par rotation (et aussi par translation, mais ca c'est à justifier...). Donc, en prenant le centre de ta sphere comme origine du repère et comme centre de rotation, tu peux te ramener à:
X²+Y²+Z² = R² :
(1 bis)
Z=d :
(2 bis)
D'où
X²+Y²= R²-d² :
(1 bis)
Z=d :
(2 bis)
Et tu remarques qu'il faut discuter de la valeur de d par rapport à R.
- d>R, intersection vide.
- d=R, intersection = un point (plan tangent à la sphère).
- d<R, intersection = un cercle de rayon racine_de_(R²-d²)
Yngwie forever.
