Ecarts entre les frettes

Imaginons que pour passer d'une case à la seconde, nous avons un coéficient de rédution constant.
Nous l'appelleront R. Prenons la longueur de la première case appellée p. et la longueur de la corde L.
Nous savons que pour passer de la première à la seconde case, il y a un coeficient de réduction R donc si la premiere case vaut p, alors la seconde est égale à
p*R.
La troisième est égale à la seconde multipliée par le coeficient de réduction donc la troisieme vaut p*R²
La quatrième égale à p*R[puissance]3

... ok ?
Plus généralement, la Nième case est égale à p*R[puissance](n-1)
Or, nous savons que la 12ème frète est située à la moitiée de la corde,donc à L/2 donc L/2 = somme des 12 premières cases...

L/2 = p + p*R + p*R² + p*R[puissance]3 + p*R[puissance]4 + p*R[puissance]5 + p*R[puissance]6 + p*R[puissance]7 + p*R[puissance]8 + p*R[puissance]9 + p*R[puissance]10 + p*R[puissance]11

donc L/2 = p ( 1 + R + R² + R[puissance]3 + R[puissance]4 + R[puissance]5 + R[puissance]6 + R[puissance]7 + R[puissance]8 + R[puissance]9 + R[puissance]10 + R[puissance]11 )

d'autre part, la 5ème frète est située au 1/4 de la corde
donc L/4 = p + p*R + p*R² + p*R[puissance]3 + p*R[puissance]4 ou L/4 = p ( 1 + R + R² + R[puissance]3 + R[puissance]4)

or, L/4 = L/2 - L/4 donc L/4 = p ( 1 + R + R² + R[puissance]3 + R[puissance]4 + R[puissance]5 + R[puissance]6 + R[puissance]7 + R[puissance]8 + R[puissance]9 + R[puissance]10 + R[puissance]11 ) - p ( 1 + R + R² + R[puissance]3 + R[puissance]4)

c'est à dire L/4 = p ( R[puissance]5 + R[puissance]6 + R[puissance]7 + R[puissance]8 + R[puissance]9 + R[puissance]10 + R[puissance]11 )

donc, nous pouvons afirmer que L/4 = L/4 c'est a dire que
p ( 1 + R + R² + R[puissance]3 + R[puissance]4 ) = p (R[puissance]5 + R[puissance]6 + R[puissance]7 + R[puissance]8 + R[puissance]9 + R[puissance]10 + R[puissance]11 )

on simplifie par p et on trouve :
1 + R + R² + R[puissance]3 + R[puissance]4 = R[puissance]5 + R[puissance]6 + R[puissance]7 + R[puissance]8 + R[puissance]9 + R[puissance]10 + R[puissance]11

d'où 1 + R + R² + R[puissance]3 + R[puissance]4 - R[puissance]5 - R[puissance]6 - R[puissance]7 - R[puissance]8 - R[puissance]9 - R[puissance]10 - R[puissance]11 = 0

et avec la calulette, nous ne trouvons qu'une solution :
R = 0.94496074 (environ)

Trouvons maintenant la valeur p de la première case :
Nous savons que:
L/2 = p ( 1 + R + R² + R[puissance]3 + R[puissance]4 + R[puissance]5 + R[puissance]6 + R[puissance]7 + R[puissance]8 + R[puissance]9 + R[puissance]10 + R[puissance]11 )
donc
L * 1/p = 2 ( 1 + R + R² + R[puissance]3 + R[puissance]4 + R[puissance]5 + R[puissance]6 + R[puissance]7 + R[puissance]8 + R[puissance]9 + R[puissance]10 + R[puissance]11 )

on remplace R par 0.94496074 et on a
L * 1/p = 17.9162995012
donc p = L/17.9162995012
soit une longueur de 65cm entre le chevalet et le bout du manche

Nous avons une premiere case égale à p = 3.62798... cm disons 3.63cm
la 2eme case fait 3.62 * R = 3.62 * 0.94496074 = 3.42

ainsi de suite ...

Voilà les 12 premieres mesures... :
3.62
3.42
3.23
3.05
2.88
2.72
2.57
2.43
2.30
2.17
2.05
1.93


Si on fait la somme des 12 premieres cases, on se retrouve avec 32.37cm qui devrait être la moitié de la corde (32.5cm) ce qui est tout a fait normal du fait que l'on ait tronqué toutes les valeurs !
Pour résumer la première frete en partant du manche est située à p = L/17.9162995012 et le rapport de réduction entre l'espacement entre 2 fretes est de R = 0.94496074
Bref,vous l'aurez compris, votre guitare n'est pas le fruit du hazard... les luthiers n'ont qu'à bien se tenir !

il y a des programmes pour faire ca...

Mais en fait ce calcul n'explique rien du tout quand on y pense il sert juste à trouver la largeur d'une case en connaissant deja un manche de guitare. Il ne calcul pas en fonction de la longuer de corde suivant la case jouée, pourquoi la note n'augmente que d'un ton par case. Ca pourait etre interresant de savoir si on a une corde d'une longueur X et que l'on veut une note X en touchant une case, de conbiens de millimetre doit on placer la case pas seulement en se basant sur le fait qu'a l'octave on a une demi longueur de corde et qu'a la 5 eme case on a 1/4 de corde... je ne crois pas que je suis très clair mais bon !