Effectivement, surtout une sixte majeure sur le troisième degré ca marche difficilement (sixte majeure de E-7 en Cmaj : C#), ca va frotter carrément. Tu peux jouer E7 par exemple, si tu veux enrichir, tu passeras en A-harmo. C'est très voisin de C maj donc tu ne choqueras pas en revenant en C maj après. Essaye peut-être de jouer E-7b13, qui est une de mes couleurs préférées (on s'en fout de ma vie je sais ). Ca passe sans problème.
Pour ce qui est de jouer Dmin6, c'est pas une super idée. La sixte étant B. Tu te retrouves avec un triton dans l'accord, qui change donc de fonction harmonique et rend l'accord instable. Le min6 est régulièrement utilisé sur des I mineurs par exemple mais pas vraiment sur les degrés II,III,VI du mode majeur. Pour le deuxième degré, préfère donc la 9è ou la 11è, majeures toutes les deux.