L'équation
ax^4 + bx^3+ cx^2 + dx + e = 0, (1)
se ramène, après division par a et changement de variable y = x + frac{b}{4a} à l'équation
y^4 + py^2 + qy + r = 0, (2)
dont les solutions sont
y_1 = tfrac 12 ( sqrt{z_1} + sqrt{z_2} + sqrt{z_3})
y_2 =tfrac 12 ( sqrt{z_1} - sqrt{z_2} - sqrt{z_3})
y_3 = tfrac 12 (-sqrt{z_1} + sqrt{z_2} - sqrt{z_3})
y_4 = tfrac 12 (- sqrt{z_1} - sqrt{z_2} + sqrt{z_3})
où z_1, z_2 et z_3 sont les trois racines du polynôme R appelé résolvante cubique ou réduite.
R(z) = z^3 + 2pz^2 + (p^2 - 4r)z -q^2,
Ces trois racines se déterminent à l'aide de la méthode de Cardan.
Par sqrt{z_i}, il faut entendre, un des nombres dont le carré vaut z_i,. On remarque que changer simultanément tous les sqrt{z_i} en leurs opposés transforme l'ensemble {y_1,,y_2,,y_3,,y_4} en {-y_1,-y_2, -y_3,-y_4,} . Il faut donc choisir « les » bonnes racines carrées. Ce sont « celles » telles que le produit sqrt{z_1} sqrt{z_2} sqrt{z_3} vaut –q.
Salut G.COM, ça roule ?
SUPERBUS , STRAY CATS , BRMC
"regarde-le moi ce communiste, je t'enverrais tout ça à Moscou"
